广告出价入门
三篇短文，站在广告主出价代理的位置，把广告拍卖里「该出多少钱」的基本数学讲清楚：从一次拍卖，到一整天共用一份预算，再到边投边调的预算平滑（pacing）。
每篇只围绕一个核心公式展开，配推导、配图，也说明这个公式在业务里怎么读、上线时会踩什么坑。三篇是递进的，但每一篇都能单独读。只想快速了解全貌的话，读完下面「先分清三个词」和「三篇讲什么」两节就够了。
先分清三个词：pricing、bidding、pacing
一句话：pricing 是卖方定规则，bidding 是买方每一次出多少，pacing 是买方控制钱花多快。
打个比方。拍卖行一天要拍 1000 件货，你带着 10 万块进场：
- Pricing（计价）：拍卖行定的规则。按最高价成交还是按第二高的价成交，起拍价（底价）是多少。
- Bidding（出价）：你对眼前这一件举多高的牌，依据是这件货对你值多少。
- Pacing（预算平滑）：你不想上午就把钱花光，于是边拍边看钱包，花快了就整体收着点，花慢了就放开一点。
放到广告里，三件事每天都在发生：
| 谁来做 | 多久做一次 | 在广告里是什么 | 在哪篇讲 | |
|---|---|---|---|---|
| Pricing | 平台 | 规则很少变，底价可以动态调 | 一价、二价、GSP；底价；按曝光、点击还是转化扣费 | 第 1 篇 |
| Bidding | 广告主，或替它出价的自动出价系统 | 每个曝光机会出一次价，毫秒级 | 手动出价，或「最大化转化」「目标 CPA」这类自动出价 | 第 1、2 篇 |
| Pacing | 同上 | 每几分钟一次 | 限流，或整体调高、调低出价 | 第 3 篇 |
三件事靠一个公式串起来：出价 b = \alpha \times v。
- v 管「这一次值多少」：来自预估模型，决定这次曝光和别的机会比，该多出还是少出。这是 bidding 的部分。
- \alpha 管「整体出多高」：由 pacing 根据花钱快慢来调。它最优应该是多少，第 2 篇算；怎么在线调到位，第 3 篇讲。
- pricing 规则决定这个公式怎么用：二价下直接按它出价就是最优；一价下还要在它的基础上再压一点价。这是第 1 篇的内容。
展开：几个容易混的说法
- 广告里说的 pricing，多数时候指平台侧的计价规则和底价，不是广告主在定价。本站定价专题讲的是卖方定价，对应到广告里，就是平台怎么定底价。
- 早期的 pacing 系统常常就是限流。第 3 篇会说明，调出价比限流更好，所以现在的 pacing 本质上是出价系统的一部分。
- CPC、CPM 说的是按什么扣费，属于 pricing；怎么出价是另一回事。比如 oCPC 就是按转化目标出价、按点击扣费。
三篇讲什么
一 · 单次拍卖的出价 8 分钟
回答的问题：只有一次拍卖，该出多少？平台用一价还是二价，对出价有什么影响？
对出价者来说，市场只是一个随机数：其他人的最高出价。由它得到胜率曲线和花费曲线，推出二价下「如实报价」、一价下「压价」。最后从平台一侧看一眼底价，它其实就是定价专题第一篇的原题。
读完能带走：二价下，多赢一次的边际成本正好等于你的出价。后两篇的结论都从这一句长出来。
二 · 预算约束下的出价 10 分钟
回答的问题：一整天成千上万次拍卖共用一份预算，每一次该出多少？
加上预算约束。拉格朗日函数一拆开，每一次拍卖又变回第一篇的问题，只是价值都除以了同一个数 \lambda，相当于上面公式里的 \alpha = 1/\lambda。
读完能带走：b = v/\lambda；价值相同就出同一个价，不管竞争强弱；以及「预算翻倍，量不会翻倍」的精确版本。
三 · 预算平滑（Pacing） 10 分钟
回答的问题：最优的 \lambda 事先算不出来，边投边该怎么调？
为什么降价比限流好，更新规则什么时候收敛、什么时候振荡，起步偏了怎么追回来，以及加上成本约束、所有广告主都在调时会发生什么。
读完能带走：一条几行代码的更新规则，和一个判断它会不会振荡的乘积 \eta e。
和定价专题的关系
定价专题站在卖方：面对一条随价格下降的需求曲线 q(p)，决定卖多少钱。这个专题站在买方：面对一条随出价上升的胜率曲线 w(b)，决定出多少钱。两边的骨架几乎一一对应：
| 定价（卖方） | 出价（买方） | |
|---|---|---|
| 面对的曲线 | 需求 q(p)，递减 | 胜率 w(b)，递增 |
| 单点最优 | p^\star = c + q/(-q')，在成本上加价 | 一价 b^\star = v - w/w'，在价值上压价 |
| 耦合约束带来的旋钮 | 影子价格 \lambda | 影子价格 \lambda，出价系数 1/\lambda |
| 最优解的样子 | 边际 UE 拉平 | 边际 ROI 拉平 |
完整符号表
三篇通用。每篇开头还有一个「本篇会用到的符号」的折叠小表。
| 符号 | 含义 | 在你的业务里可能是 |
|---|---|---|
| b | 出价，决策变量，统一换算到每次曝光 | CPC 出价 × pCTR |
| z | 市场价：除你之外的最高出价 | 拍卖日志里其他广告的最高 eCPM |
| w(b) | 胜率曲线，P(z \le b) | bid landscape、胜率预估 |
| c(b) | 一次机会的期望花费，c_1 一价、c_2 二价 | 每次请求的期望消耗 |
| v | 一次曝光机会对你的价值 | pCVR，或 pCTR × 点击价值 |
| r | 底价 | reserve price、floor price |
| B,\ T | 总预算；拍卖（机会）总数 | 日预算；日请求量 |
| \lambda | 预算约束的乘子，影子价格 | 多给 1 元预算能多拿多少转化 |
| \alpha = 1/\lambda | 出价系数 | pacing multiplier |
| R_k | 第 k 个时间窗的「实际 ÷ 计划」花费 | 分时消耗进度 |
| \eta,\ e | 更新步长；花费对出价的弹性 | 控制器增益；出价涨 1% 花费涨几 % |
| C,\ \mu | 成本上限及其乘子 | 目标 CPA |
公式速查
| 场景 | 结论 |
|---|---|
| 胜率 | w(b) = P(z \le b) |
| 期望花费 | 一价 c_1 = b\,w(b)；二价 c_2 = \int_0^b z\,w'(z)\,dz |
| 每多赢一次的成本 | 二价 b；一价 b + w/w' |
| 单次拍卖的最优出价 | 二价 b^\star = v；一价 b^\star = v - w/w' |
| 底价（单个出价者） | r^\star = \bigl(1 - F(r^\star)\bigr)/f(r^\star) |
| 预算约束下，二价 | b_t^\star = v_t/\lambda，\lambda^\star 满足 \sum_t c_t(v_t/\lambda^\star) = B |
| 预算约束下，一价 | b_t^\star = v_t/\lambda - w_t/w_t' |
| 预算的影子价格 | dV^\star/dB = \lambda^\star |
| 均匀市场价 [0, m]，价值相同 | b^\star = \sqrt{2mB/T}，N^\star = \sqrt{2TB/m}，边际 CPA = 2 × 平均 CPA |
| 限流 vs 降价 | N(pS_0) \ge p\,N(S_0) |
| 在线更新 | \alpha \leftarrow \alpha\,e^{-\eta(R_k - 1)}，对数偏差 x_{k+1} \approx (1 - \eta e)\,x_k |
| 预算 + 成本上限 | b = \dfrac{1 + \mu C}{\lambda + \mu}\,v |
这个专题不讲什么
三篇都假设你已经有了校准好的价值预估 v 和靠谱的胜率曲线 w(b)，讨论的是「拿到这两样之后，该怎么出价」。
这两样东西怎么得到，其实是整个出价系统里最难、最「统计」的部分（删失数据、选择偏差、非平稳）。这部分连同多广告位 GSP、平台一侧的机制设计、跨天预算规划，都在第三篇的最后一节里列了出来。
参考文献
- Yuan Gao, Kaiyu Yang, Yuanlong Chen, Min Liu, Noureddine El Karoui. Bidding Agent Design in the LinkedIn Ad Marketplace. AdKDD 2022.
- Weinan Zhang, Shuai Yuan, Jun Wang. Optimal Real-Time Bidding for Display Advertising. KDD 2014.
- Weinan Zhang, Kan Ren, Jun Wang. Optimal Real-Time Bidding Frameworks Discussion. arXiv:1602.01007, 2016.
- Jon Feldman, S. Muthukrishnan, Martin Pál, Cliff Stein. Budget Optimization in Search-Based Advertising Auctions. EC 2007.
- Deepak Agarwal, Souvik Ghosh, Kai Wei, Siyu You. Budget Pacing for Targeted Online Advertisements at LinkedIn. KDD 2014.
- Santiago Balseiro, Yonatan Gur. Learning in Repeated Auctions with Budgets: Regret Minimization and Equilibrium. Management Science, 2019.
- Roger Myerson. Optimal Auction Design. Mathematics of Operations Research, 1981.
- Benjamin Edelman, Michael Ostrovsky, Michael Schwarz. Internet Advertising and the Generalized Second-Price Auction. American Economic Review, 2007.
- Wush Chi-Hsuan Wu, Mi-Yen Yeh, Ming-Syan Chen. Predicting Winning Price in Real Time Bidding with Censored Data. KDD 2015.
- Vincent Conitzer, Christian Kroer, Eric Sodomka, Nicolás Stier-Moses. Multiplicative Pacing Equilibria in Auction Markets. Operations Research, 2022.
- Min Liu, Jialiang Mao, Kang Kang. Trustworthy and Powerful Online Marketplace Experimentation with Budget-split Design. KDD 2021.
- Gagan Aggarwal et al. Auto-bidding and Auctions in Online Advertising: A Survey. ACM SIGecom Exchanges, 2024.
专题里所有图均由代码根据文中模型直接计算生成，非示意图。所有推导都做了数值验证（有限差分对拍导数，暴力搜索对拍最优解，蒙特卡洛对拍期望）。如果你发现哪一步有问题，欢迎指出。