单次拍卖的出价

2026 年 9 月 20 日

一场拍卖里，你只需要报一个数。对你来说，所有竞争对手加起来只是一个随机的「市场价」：由它推出胜率和花费，就能看清为什么二价下该如实报价、一价下要压价。顺带从平台一侧看一眼——底价其实就是一个定价问题。

出价专题 · 第 1 篇 / 共 3 篇 · 阅读约 8 分钟

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这是「广告出价入门」的第一篇，只看一次拍卖、一个出价，不需要任何前置知识。

本篇会用到的符号

符号	含义
$b$	你的出价，决策变量
$z$	市场价：其他所有竞争者里的最高出价，对你来说是个随机数
$w(b)$	胜率曲线 $P(z \le b)$ ，也就是 $z$ 的分布函数
$w'(b)$	胜率曲线的斜率，也就是 $z$ 的概率密度
$c(b)$	这次机会的期望花费（输了算 0）， $c_1$ 是一价， $c_2$ 是二价
$v$	这次曝光对你值多少
$r$	平台设的底价

完整符号表见专题目录。

1. 把问题写下来

用户刷一次信息流，就产生一次广告曝光机会，平台为它办一场拍卖。你是某个广告主的出价代理，这一次只做一件事：报一个价 $b$ 。

对你来说，其他所有竞争者加在一起，只体现为一个数：他们之中的最高出价 $z$ ，下文叫市场价。你事先不知道 $z$ ，但可以从历史日志里估计它的分布。于是赢的概率就是

w(b) = P(z \le b)

这条曲线叫胜率曲线（业内也叫 bid landscape）。它就是市场价的分布函数：从 0 出发，单调上升，趋向 1。它的斜率 $w'(b)$ 就是市场价的概率密度。

赢了之后付多少，取决于平台的计费规则：

一价（first price）：付自己的出价 $b$ 。
二价（second price）：付「刚好能赢的价格」，也就是市场价 $z$ 。

对这一次机会取期望（输了花 0），两种规则下的期望花费分别是

c_1(b) = b\,w(b), \qquad c_2(b) = \int_0^b z\,w'(z)\,dz

二价的式子读作：把所有你能赢下的市场价 $z \le b$ ，按出现的概率加权求和。

关于单位。 广告平台一般按 eCPM（每千次曝光的期望收入）排序。你按点击出价 $b_{\text{click}}$ 元，折算到每次曝光就是 $b = b_{\text{click}} \times \text{pCTR}$ 。本专题的 $b$ 、 $z$ 、 $v$ 一律换算到「每次曝光」上。单广告位的 GSP 按点击计费时，赢家每次点击付 $z/\text{pCTR}$ ，折回每次曝光正好是 $z$ ，所以它就是二价。

2. 关键事实：二价下，多赢一次的成本正好是你的出价

「每赢一次花多少」有两种算法：

平均成本： $c_2(b)/w(b) = E[z \mid z \le b]$ ，即赢下的那些拍卖的平均成交价。它一定小于 $b$ 。
边际成本：出价从 $b$ 抬到 $b + db$ ，多花的钱除以多赢的次数。

边际成本的结果非常简洁。对 $c_2$ 的积分上限求导， $c_2'(b) = b\,w'(b)$ ，于是

\boxed{\ \frac{dc_2}{dw} = \frac{c_2'(b)}{w'(b)} = b\ }

直觉：出价抬高一点点，多赢下的恰好是市场价落在 $[b,\ b+db]$ 里的那些拍卖，每一场都付 $b$ 左右。

一价就不一样了：

\frac{dc_1}{dw} = \frac{w(b) + b\,w'(b)}{w'(b)} = b + \frac{w(b)}{w'(b)} \;>\; b

多出来的 $w/w'$ ，是因为一价下抬价不只多赢了新的拍卖，还让本来就能赢的每一场都多付了钱。二价没有这一项，因为你付的是 $z$ ，不是 $b$ 。

市场价的分布与每赢一次的成本

用均匀分布算一个简单的例子：若 $z$ 在 $[0, m]$ 上均匀，则 $w = b/m$ ， $c_2 = b^2/(2m)$ 。二价的平均成本恰好是出价的一半，边际成本等于出价；一价的边际成本则是 $2b$ 。

3. 这一次该出多少

这次曝光对你值 $v$ （比如 $v = \text{pCTR} \times$ 一次点击对你值多少钱）。赢了拿到价值、同时付钱，期望收益是

\max_b\ \ v\,w(b) - c(b)

二价。 求导：

\frac{d}{db}\Bigl[v\,w(b) - c_2(b)\Bigr] = v\,w'(b) - b\,w'(b) = (v - b)\,w'(b)

$w'(b) \ge 0$ ，所以 $b < v$ 时导数不为负， $b > v$ 时导数不为正：

\boxed{\ b_2^\star = v\ }

这个结论不依赖 $w$ 的任何性质。竞争强也好弱也好，分布是单峰、双峰还是别的形状，二价下如实报价都是最优的。

一价。 令导数为零：

(v - b)\,w'(b) - w(b) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ b_1^\star = v - \frac{w(b_1^\star)}{w'(b_1^\star)}\ }

一价要压价（bid shading），压多少取决于 $w$ ，也就是说你必须先估计市场。均匀分布下 $b_1^\star = v/2$ 。

二价的最优出价与市场无关，一价则取决于市场

读法：二价把「估计市场」和「决定出价」彻底拆开了，一价没有。 这是二价在工程上好用的根本原因。现实里两种都有：LinkedIn 的公开论文提到，它自己的信息流广告位用带底价的 GSP，而站外合作媒体的流量大多是一价。

如果你读过定价专题：一价的 $b^\star = v - w/w'$ 和定价的 $p^\star = c + q/(-q')$ 是同一个结构的两面。卖方在成本上加价，买方在价值上压价，幅度都是「当前的量 ÷ 量对价格的敏感度」。

4. 从平台看：底价就是一个定价问题

平台可以设一个底价 $r$ （reserve price）：低于 $r$ 的出价不算数，赢家至少付 $r$ 。

最简单的情形：只有一个出价者，二价下他报的就是自己的价值 $X$ ， $X$ 的分布函数是 $F$ 、密度是 $f$ 。平台的期望收入是

\text{收入}(r) = r \cdot P(X \ge r) = r\,\bigl(1 - F(r)\bigr)

这正是定价专题第一篇的原题：价格是 $r$ ，成交概率 $q(r) = 1 - F(r)$ ，成本为 0。套用那里的结论：

\boxed{\ r^\star = \frac{1 - F(r^\star)}{f(r^\star)}\ }

价值在 $[0, 1]$ 上均匀时， $r^\star = 1/2$ 。

一个经典结论（Myerson，1981）：各出价者的价值独立同分布、且分布满足一个叫「正则」的温和条件时（均匀分布就满足），最优底价跟有几个出价者无关，还是上面这个 $r^\star$ 。

站回出价者这边，底价只是改了一下市场价：把 $z$ 换成 $\max(z,\ r)$ ，前面所有公式照用。

5. 落地时会踩的坑

胜率曲线要从日志里估，而日志是删失的。 二价下赢了才看到 $z$ ，输了只知道 $z > b$ 。直接拿成交价画直方图，看到的全是比你出价低的市场价，会系统性低估竞争。这是标准的删失数据问题，可以借用生存分析的工具。一价更麻烦，赢了通常也看不到 $z$ ，只知道 $z \le b$ 。
$v$ 估不准，出价就跟着偏。 二价下 $b = v$ ，pCTR 高估多少，出价就高多少；而且你赢下的恰恰是被高估的那一批（赢家诅咒）。所以对出价来说，预估值的校准和排序能力（AUC）同样要紧。
多个广告位的 GSP 里，如实报价不再是最优。 本篇结论只对单个广告位严格成立，多广告位的情况见 Edelman、Ostrovsky、Schwarz（2007）。

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