单对象定价优化

2026 年 9 月 20 日

只有一个数要定。价格往上抬，每一单赚得更多，买的人却更少——利润走出一条倒 U 曲线。这一篇把顶点的位置算出来，并给出一个不用计算器也能估的基准。

定价专题 · 第 1 篇 / 共 4 篇 · 阅读约 12 分钟

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这是「定价优化入门」的第一篇。不需要任何前置知识，只要你接受「东西越贵，买的人越少」这个事实。

本篇会用到的符号

符号	含义
$p$	价格，决策变量
$c$	单位成本，已知常数
$q(p)$	成交概率 / 转化率，随 $p$ 单调递减
$k$	价格系数，越大表示价格一动、转化率掉得越快
$\Pi$	总收益（本专题统一指毛利，不是流水）
$q_0 = 1-q$	不成交概率

完整符号表见专题目录。

1. 把问题写下来

只有一个定价单元。它有一条自己的价格—需求关系：价格越高，成交概率越低。

q = q(p), \qquad q'(p) < 0

成本 $c$ 固定。那么总收益是

\boxed{\ \Pi(p) = \underbrace{q(p)}_{\text{成交概率}} \times \underbrace{(p - c)}_{\text{单均毛利}}\ }

这个式子里有一对天然的矛盾：

涨价 → 每单赚得多（ $p-c$ 变大）
涨价 → 成交的人变少（ $q$ 变小）

两者相乘，通常是一条倒 U 曲线：太便宜不赚钱，太贵没人买，中间某处有个最高点。

价格—需求关系与总收益曲线

2. 求最优解

对 $p$ 求导，令导数为零：

\frac{d\Pi}{dp} = \underbrace{q(p)}_{\text{①}} + \underbrace{(p-c)\,q'(p)}_{\text{②}} = 0

这两项各有清楚的含义：

① $q(p)$ ：价格每涨 1 元，已经成交的那部分订单每单多赚 1 元，总共多赚 $q$ 。这是好处，恒为正。
② $(p-c)q'(p)$ ：价格每涨 1 元，丢掉 $|q'(p)|$ 那么多订单，每丢一单损失一份毛利 $(p-c)$ 。这是代价，只要价格高于成本，它就是负的。

最优价，就是这两股力量恰好抵消的那个点。

涨价的两股力量

整理一下，就得到最优价满足的一般条件：

\boxed{\ p^\star = c + \frac{q(p^\star)}{-\,q'(p^\star)}\ }

读作：最优价 = 成本 + 一个加价项，而

\text{加价项} \;=\; \frac{\text{当前转化率}}{\text{转化率下降的速度}}

这很符合直觉：转化率下降得越慢（客户越不在乎价格），加价空间就越大。

同一个式子在广告拍卖里出现过两次：平台定底价，就是成本为 0 时的这个问题；买方在一价拍卖里的最优出价 $b^\star = v - w/w'$ 则是它的镜像，在价值上压价，而不是在成本上加价。见出价专题第 1 篇。

3. 两个具体例子

上面是一般形式。代入具体的需求函数，就能得到真正能算的公式。

例 1：线性需求

q(p) = a - b\,p \qquad (a, b > 0)

代入目标函数：

\Pi(p) = (a - bp)(p - c) = -bp^2 + (a + bc)\,p - ac

这是开口向下的抛物线，求导：

\frac{d\Pi}{dp} = -2bp + (a + bc) = 0

\boxed{\ p^\star = \frac{a + bc}{2b} = \frac{a}{2b} + \frac{c}{2}\ }

二阶导 $\frac{d^2\Pi}{dp^2} = -2b < 0$ ，确实是极大值。

这个结果有个漂亮的说法。记 $p_{\max} = a/b$ 为「零需求价」（价格涨到这里，就完全没人买了），则

p^\star = \frac{p_{\max} + c}{2}

最优价恰好是「成本」和「零需求价」的中点。 这是一个非常好用的心算基准：如果你能估出「多贵就完全卖不动了」，最优价大约就在它和成本的正中间。

例 2：Logit 需求（更接近真实）

线性需求有个毛病：价格再高一点， $q$ 会变成负数。实践中更常用 Logit 形式：

q(p) = \frac{1}{1 + e^{-(b_0 - k p)}} = \sigma(b_0 - kp)

其中 $\sigma(\cdot)$ 是 sigmoid 函数， $b_0$ 决定基础吸引力， $k > 0$ 是价格系数。它天然落在 $(0,1)$ 内，且单调递减。

它有一个极好用的导数性质：

q'(p) = \frac{dq}{dp} = -k\,q\,(1-q)

展开：这一步怎么来的

令 $z = b_0 - kp$ ，则 $q = \sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$ 。

sigmoid 的经典性质是 $\sigma'(z) = \sigma(z)\bigl(1-\sigma(z)\bigr)$ ：

\sigma'(z) = \frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} = \frac{1}{1+e^{-z}} \cdot \frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} = \sigma(z)\bigl(1-\sigma(z)\bigr)

再用链式法则， $\frac{dz}{dp} = -k$ ：

\frac{dq}{dp} = \sigma'(z)\cdot\frac{dz}{dp} = q(1-q)\cdot(-k) = -k\,q(1-q)

代入一阶条件 $q + (p-c)q' = 0$ ：

q - (p-c)\,k\,q\,(1-q) = 0

两边除以 $q$ （ $q > 0$ ，可以除）：

1 - k\,(p-c)(1-q) = 0

\boxed{\ p^\star - c = \frac{1}{k\,\bigl(1 - q(p^\star)\bigr)} = \frac{1}{k\,q_0}\ }

其中 $q_0 = 1 - q$ 是不成交概率。

这是个隐式方程（右边还含着 $p^\star$ ），不过它只有一个未知数、而且单调，二分法或牛顿法几步就能收敛，工程上完全不是问题。

4. 这几个公式在业务里怎么读

读法一： $k$ 越大，加价越小。

$k$ 是价格系数。 $k$ 大 = 客户对价格敏感 = 曲线陡 = 稍微涨一点就掉一大片量。这时候公式告诉你老老实实少加价。反过来，对价格不敏感的场景（刚需、无替代、紧急需求）， $1/k$ 大，加价空间就大。

读法二： $q_0$ 出现在分母，说明「当前卖得怎么样」会反过来影响该定多少钱。

这里容易读岔，多说一句。假如你现在的价格下几乎人人都买（ $q \to 1$ ， $q_0 \to 0$ ），公式给出的加价趋于无穷大 —— 这不是公式坏了，而是它在喊：你价格定得太低了。涨价之后 $q$ 会掉下来、 $q_0$ 会涨上去，加价项随之变小，最优价落在两者平衡的地方。所以别把它当成一步到位的公式：右边含着 $p^\star$ ，要用上一节说的二分法或牛顿法去解。

读法三：结果对「成本」怎么算很敏感。

$c$ 到底算哪些？只算变动成本，还是要分摊固定成本？这个选择会直接改变最优价。一般来说，做短期定价决策时 $c$ 应该只包含边际成本（多成交一单额外多花的钱）。把固定成本摊进去再去优化，会系统性地把价格定高、把量做小。

5. 落地时会踩的坑

曲线不是天上掉下来的。 上面所有推导都建立在「你知道 $q(p)$ 」这个前提上。这个前提比看上去难得多，本专题第四篇会展开说。
$c$ 可能不是常数。 很多业务里成本随量变化（规模效应、阶梯运力、库存分档）。这时 $\Pi = q\cdot(p - c(q))$ ，要重新求导，但框架不变。
别忘了检查二阶条件。 一阶导为零只说明是驻点。Logit 需求下 $\Pi(p)$ 对 $p$ 未必处处是凹的，但它是单峰的，所以一阶条件的解就是全局最优。

展开：一个能让后面所有算法都变简单的技巧 —— 换个变量，问题就凹了

$\Pi(p)$ 对 $p$ 不一定凹，这会让优化算法不好写。但如果把决策变量从「价格」换成「转化率」，问题立刻变成严格凹的。

从 $q = \sigma(b_0 - kp)$ 反解出价格：

p = \frac{1}{k}\left(b_0 - \ln\frac{q}{1-q}\right)

代回目标函数：

\Pi(q) = q\left(\frac{b_0}{k} - c\right) - \frac{1}{k}\underbrace{\left(q\ln q - q\ln(1-q)\right)}_{\;\equiv\, f(q)}

第一项是 $q$ 的线性函数。只要证明 $f(q)$ 是凸的， $\Pi(q)$ 就是凹的：

f'(q) = \ln q + 1 - \ln(1-q) + \frac{q}{1-q}

f''(q) = \frac{1}{q} + \frac{1}{1-q} + \frac{1}{(1-q)^2} \;>\; 0 \quad \text{(在 } 0<q<1 \text{ 上恒成立)}

所以 $\Pi''(q) = -f''(q)/k < 0$ ，严格凹。

这个变换的实际价值：一旦问题在 $q$ 空间是凹的，就可以直接上凸优化求解器，全局最优有保证，也不用担心初值和局部解。第三篇的拉格朗日推导之所以那么干净，本质上也是因为这个结构。

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