Jiangang Han

替代品的定价优化

把一个产品的价格抬上去，另一个的销量反而涨了——它们在抢同一批需求。一旦有了这种牵连，价格就不能再一个一个单独定。而最优解的形式意外地干净：所有产品的「边际 UE」，也就是多卖一单净赚多少，必须落在同一条水位线上。

定价专题 · 第 3 篇 / 共 4 篇 · 阅读约 13 分钟

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前情提要：前两篇都假设「改一个单元的价格，不影响别的单元」。这一篇打破这个假设 —— 当用户面对的是一整张候选清单，这些候选会互相抢量。

本篇会用到的符号
符号含义
u_j = p_j - c_j候选项 j 的单均毛利
b_j与价格无关的吸引力（品牌、口碑、评分……）
DLogit 分母，D = 1 + \sum_m e^{\,b_m - k_m p_m}
q_j = e^{\,b_j-k_jp_j}/D选中候选项 j 的概率
q_0 = 1/D什么都不买的概率
\mathrm{mUE}_j边际 UE（marginal unit economics）：让 j 多卖一单净多赚多少，u_j - 1/k_j；文献里叫 adjusted markup

完整符号表见专题目录。

1. 问题出在哪

前两篇所有内容都建立在一个假设上：改一个单元的价格，不影响别的单元的转化率。

真实场景往往不是这样。一个用户面前摆着的不是一个选项，而是一整张候选清单（一屏商品、一列套餐、一组车型、一批保险方案）。这时候：

你把清单里第 1 项的价格调高了，用户不一定就不买了——可能转头去买了第 2 项。

于是改一个价格，整张清单的转化率全都会变。

这个现象在不同领域有不同的叫法：

第二篇开头说的三个解耦条件，这次破坏的是第三条。

2. 用离散选择模型描述它

标准工具是 多项 Logit 模型（Multinomial Logit, MNL）。

用户面对 N 个候选，外加一个「什么都不买」的选项。选中第 j 项的概率是：

\boxed{\ q_j \;=\; \frac{e^{\,b_j - k_j p_j}}{\underbrace{1}_{\text{什么都不买}} + \sum_{m=1}^{N} e^{\,b_m - k_m p_m}}\ }

为书写方便，记：

D = 1 + \sum_m e^{\,b_m - k_m p_m}, \qquad e_j = e^{\,b_j - k_j p_j}, \qquad q_j = \frac{e_j}{D}, \qquad q_0 = \frac{1}{D}

q_0 就是「什么都没买」的概率，且显然 q_0 + \sum_j q_j = 1。

3. 先算导数：替代效应长什么样

这是后面所有推导的基础，一步步来。

自身导数（改 p_j 对 q_j 自己的影响）：

\frac{\partial q_j}{\partial p_j} = \frac{\partial}{\partial p_j}\left(\frac{e_j}{D}\right) = \frac{\frac{\partial e_j}{\partial p_j}\cdot D - e_j\cdot\frac{\partial D}{\partial p_j}}{D^2}

其中 \frac{\partial e_j}{\partial p_j} = -k_j e_j，而 \frac{\partial D}{\partial p_j} = -k_j e_j（D 里只有第 j 项含 p_j）。代入：

= \frac{-k_je_jD + k_je_j^2}{D^2} = -k_j\frac{e_j}{D}\left(1 - \frac{e_j}{D}\right)
\boxed{\ \frac{\partial q_j}{\partial p_j} = -k_j\,q_j\,(1 - q_j) \;<\; 0\ }

交叉导数（改 p_j 对别人 q_m 的影响，m \ne j）：

此时分子 e_m 与 p_j 无关，只有分母在变：

\frac{\partial q_m}{\partial p_j} = e_m\cdot\frac{\partial}{\partial p_j}\left(\frac{1}{D}\right) = -\frac{e_m}{D^2}\cdot\frac{\partial D}{\partial p_j} = -\frac{e_m}{D^2}\cdot(-k_je_j)
\boxed{\ \frac{\partial q_m}{\partial p_j} = k_j\,q_j\,q_m \;>\; 0\ }

这两个式子就是「替代效应」的数学表达：自己涨价，自己掉量（负），别人受益（正）。

替代效应：动一个价格，所有份额都会动

还有一个后面要用的量 —— 涨 p_j 对总成交量的影响：

\sum_{m}\frac{\partial q_m}{\partial p_j} = \underbrace{-k_jq_j(1-q_j)}_{m=j} + \underbrace{\sum_{m\ne j}k_jq_jq_m}_{m \ne j} = -k_jq_j\Bigl(1 - \sum_m q_m\Bigr)
\boxed{\ \sum_m \frac{\partial q_m}{\partial p_j} = -\,k_j\,q_j\,q_0\ }

很漂亮：涨价流失的量，最终只有漏到「什么都不买」那一档的部分才是真的丢了，内部转移不算损失。

4. 求最优解：旋钮的显式形式

目标函数（记单均毛利 u_j = p_j - c_j）：

\Pi = \sum_j q_j\,u_j

对 p_j 求导。注意 p_j 有两条影响路径：直接影响自己的毛利 u_j，以及通过份额影响所有 q_m：

\frac{\partial \Pi}{\partial p_j} = \underbrace{q_j}_{\text{毛利变化}} + \underbrace{\sum_m u_m\frac{\partial q_m}{\partial p_j}}_{\text{份额变化}}

把导数代进去：

= q_j + u_j\bigl(-k_jq_j(1-q_j)\bigr) + \sum_{m\ne j}u_m\,k_jq_jq_m

提出公因子 q_j：

= q_j\left[1 - k_ju_j(1-q_j) + k_j\sum_{m\ne j}u_mq_m\right]

把 (1-q_j) 展开：

= q_j\left[1 - k_ju_j + k_ju_jq_j + k_j\sum_{m\ne j}u_mq_m\right]

注意中间两项可以合并 —— u_jq_j 正好把求和补成对所有 m 的求和：

= q_j\Bigl[\,1 - k_ju_j + k_j\underbrace{\textstyle\sum_{m}u_mq_m}_{\text{这就是 }\Pi\text{ 本身}}\Bigr]
\boxed{\ \frac{\partial \Pi}{\partial p_j} = q_j\bigl[1 - k_ju_j + k_j\Pi\bigr]\ }

令导数为零。因为 q_j > 0，方括号必须为零：

1 - k_ju_j + k_j\Pi = 0

两边除以 k_j，整理：

\boxed{\ u_j - \frac{1}{k_j} \;=\; \Pi \qquad \text{对每一个 } j \text{ 都成立}\ }

这就是那个旋钮。

等式右边 \Pi 是总收益 —— 它跟 j 完全无关。也就是说：

在最优解处，所有候选项的 u_j - \frac{1}{k_j} 都相等，等于同一个常数。

我把这个量叫做该候选项的 mUE，全称 marginal unit economics，中文叫边际 UE：

\mathrm{mUE}_j \;\equiv\; u_j - \frac{1}{k_j} \;=\; (p_j - c_j) - \frac{1}{k_j}

UE（unit economics，单位经济）是业务里常说的「一单生意赚不赚钱」，「边际」指的是多卖的那一单。合起来，mUE 回答一个很实际的问题：让 j 多卖一单，净多赚多少钱？ 公式里的两项正好是这笔账的一收一支：

收减支，就是经济学里最基本的「边际收益减边际成本」（MR − MC）。严格说还有一笔对所有产品都一样的公共成本，比较时互相抵消，见下面的展开。

最优解的特征：所有候选项的 mUE 被拉平到同一条水位线上，而且这条水位线正好等于总收益 \Pi。 用上面这笔账来读，道理很直白：如果多卖 A 一单比多卖 B 一单更赚，就该把量从 B 挪给 A；只要各项之间还有高低，就还能这样挪，挪到各项相等才停。这就是经济学里的等边际原则。

展开：为什么说 mUE 就是「多卖一单的净收益」

换个角度：不把价格当决策变量，而把各候选项的份额 q_j 当决策变量，价格由 Logit 公式反解出来，p_j = \bigl(b_j - \ln(q_j/q_0)\bigr)/k_j。对 q_j 求导（其他候选项的份额不变）：

\frac{\partial \Pi}{\partial q_j} = \underbrace{\Bigl(u_j - \frac{1}{k_j}\Bigr)}_{\mathrm{mUE}_j} \;-\; \underbrace{\frac{1}{q_0}\sum_m \frac{q_m}{k_m}}_{\text{对所有 } j \text{ 都一样}}

最优时每个 \partial\Pi/\partial q_j 都为零，所以所有 mUE 都等于同一个数，这就是拉平；和上面按价格求导的结果对照，这个数正是 \Pi。

文献里怎么叫。 这个量在学术文献里叫 adjusted markup（按价格敏感度调整后的加价），定义就是「价格 − 成本 − 价格敏感度的倒数」。Gallego 和 Wang（2014）在更一般的嵌套 Logit 模型下证明：最优时，同一个嵌套里所有产品的 adjusted markup 都相等。MNL 是嵌套 Logit 的特例，放到 MNL 下就是上面这条结论。Li 和 Huh（2011）则证明：在 MNL 下，即使各产品的价格系数不同，把总利润写成市场份额的函数后，它也是凹函数。所以一阶条件解出来的就是全局最优，不会停在局部极值上。本专题用 mUE 这个名字，因为它直接说出了这个量在经济上是什么：多卖一单的净收益。

记这个公共水位为 \theta^\star，那么每个价格立刻确定：

\boxed{\ p_j^\star \;=\; c_j + \theta^\star + \frac{1}{k_j}\ }

N 个价格，只剩下一个自由度。 给定 \theta^\star，全部价格一次算完，不需要任何迭代求根。

而 \theta^\star 满足一个一维不动点方程 \theta = \Pi(\theta)，其中 \Pi(\theta) 是按水位 \theta 定价时的总收益 —— 二分即可。

优化的过程，就是各单元 mUE 拉平的过程

上图记录的是梯度上升的全过程：四个候选项从很离谱的初始价格出发，它们的 mUE 从四面八方收敛到同一条水位线上；与此同时总收益单调上升。收敛后我验证了一下，公共水位的数值恰好等于最优总收益（吻合到 10^{-14} 量级），正如公式所说。

加上量约束，结构不变。 这一点很重要，说明这个旋钮很稳健：

L = \sum_j q_ju_j + \lambda\Bigl(\sum_j q_j - Q\Bigr)

用第 3 节最后那个结论 \sum_m \partial q_m/\partial p_j = -k_jq_jq_0：

\frac{\partial L}{\partial p_j} = q_j\bigl[1 - k_ju_j + k_j\Pi\bigr] - \lambda\,k_jq_jq_0 = 0
\Rightarrow\ \boxed{\ u_j - \frac{1}{k_j} \;=\; \Pi - \lambda\,q_0\ }

右边仍然与 j 无关。约束没有改变「mUE 必须拉平」这个结构，只是把水位整体压低了一点。

5. 怎么读这个结果

1/k_j 是「这个候选项天然该有的加价空间」。

它的单位就是钱。价格系数 k_j 越小（用户对这一项的价格越不在意），1/k_j 越大，这一项就该加更多的价。这和上一节那笔账是同一件事：用户越不在意价格，想多卖一单要让的钱就越多，不如少卖一点、把价定高。

最优定价 = 统一水位 + 各自的天然加价空间 + 各自的成本。

这句话可以直接讲给业务方听，而且很好接受：大家共享一个「基准盈利水平」，然后各自按「客户有多不在意价格」和「成本有多高」做偏移。

它给了一个可以直接用的诊断工具。

拿你现在线上的价格，算一遍每个候选项的 \mathrm{mUE}_j = (p_j - c_j) - 1/k_j，然后排序：

这个诊断不需要重新求解整个优化问题，一个 SQL 就能跑出来，非常适合做日常监控看板。

它也解释了「为什么不能一刀切地打折」。 全场统一打八折，每一项降掉的钱和它的原价成正比，贵的降得多、便宜的降得少；而 1/k_j 不会跟着变——原本拉平的 mUE 会被打散，离最优更远。正确的做法是移动水位，也就是所有 p_j 同时加减同样多的钱，而不是乘同一个折扣。

这是一个很反直觉、但很有用的结论：在这个模型下，「统一加减多少钱」不会破坏最优结构（只是移动了水位），「统一打几折」会。

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